تبدیل مختصات جغرافیایی به کارتزین و برعکس (به همراه نمونه کدهای پایتون و متلب)

حالا که متوجه ماهیت این سیستم ها و همچنین علت نیاز به تبدیل مختصات بین این دو نوع سیستم مختصات شدیم، می خواهیم نگاهی داشته باشیم به فرآیند تبدیل این دو نوع مختصات به یکدیگر:

روابط ریاضی و هندسی تبدیل سیستم مختصات جغرافیایی به کارتزین:

برای درک بهتر مفاهیمی که تا کنون توضیح دادیم، در این بخش فرمول های ریاضی اصلی برای تبدیل مختصات جغرافیایی به ECEF ارائه شده است.

تبدیل مختصات جغرافیایی به کارتزین (ECEF)

با داشتن (φ, λ, h):X=(N+h)cosϕcosλX=(N+h)cosϕcosλ
Y=(N+h)cosϕsinλY=(N+h)cosϕsinλ
Z=[N(1−e2)+h]sinϕZ=[N(1−e2)+h]sinϕ

که در آن N  شعاع انحنای قائم اول بوده و به صورت زیر محاسبه می شود: 

N = a / √(1 - e² sin²φ)

a نیم قطر بزرگ و e خروج از مرکزیت بیضوی است.
برای بیضوی WGS84، این مقادیر به صورت زیر هستند:

 a=6378137.0
e2=0.08181919104282

تبدیل مختصات کارتزین به جغرافیایی (ECFE به جغرافیایی)

این تبدیل کمی پیچیده تر است و معمولاً با روش های تکرار (Iterative) حل می شود. طول جغرافیایی به سادگی به دست می آید:

λ=arctan(XY​)

برای عرض جغرافیایی و ارتفاع، از یک فرآیند تکراری استفاده می شود که در آن ابتدا یک حدس اولیه برایϕ زده می شود و سپس با تکرار، به جواب نهایی نزدیک می شود .

در انتهای این مطلب، سعی کردیم تا این فرمول ها را برای ساخت یک پروژه کدنویسی در هر دو زبان پایتون و متلب، پیاده سازی کرده و در اختیار شما قرار دهیم. برای دسترسی به این کدها به بخش کتابخانه های برنامه نویسی مراجعه کنید.اما بیایید ابتدا نگاهی داشته باشیم به ابزارها و کتابخانه هایی که روند برنامه نویسی برای تبدیل مختصات بین این دو سیستم مختصاتی را راحت تر می کنند.

معرفی ابزار جهت تبدیل مختصات

در این مقاله، دو اسکریپت پایتون را معرفی می کنیم که این تبدیل را با دقت بالا انجام می دهد. این کدها، یک ابزار ضروری برای هر متخصص GIS، نقشه  بردار و برنامه  نویسی است که با داده  های مکانی سروکار دارد.

کتابخانه PyMap3D پایتون

PyMap3D یک کتابخانه کتابخانه قدرتمند و خالص پایتون (بدون نیاز به کتابخانه های جانبی) برای تبدیل مختصات سه بعدی جغرافیایی است. این کتابخانه با الهام از توابع مشابه در متلب طراحی شده و برای سیستم های موازی و تعبیه شده بسیار مناسب است. توابع این کتابخانه از آرایه های با ابعاد دلخواه (اسکالر یا N-D array) پشتیبانی می کنند.

استفاده از کتابخانه PyMap3D برای تبدیل مختصات های نقشه برداری

   مرحله 1: نصب کتابخانه
      ابتدا با استفاده از قطعه کد زیر، کتابخانه را به برنامه خود اضافه کنید:

bash
python3 -m pip install pymap3d

   مسئله 1: تبدیل مختصات جغرافیایی به کارتزین (Lat/Lon/Height → ECEF XYZ)
     این تابع یک نقطه با مختصات جغرافیایی (عرض، طول، ارتفاع) را دریافت کرده و معادل آن را در سیستم ECEF (X, Y, Z) بر می گرداند.

import pymap3d as pm


def geodetic_to_ecef(lat, lon, alt=0):
    """
    Convert geodetic coordinates to ECEF coordinates.

    Parameters
    ----------
    lat : float
        عرض جغرافیایی بر حسب درجه

    lon : float
        طول جغرافیایی بر حسب درجه

    alt : float
        ارتفاع از سطح بیضوی بر حسب متر

    Returns
    -------
    tuple
        مختصات ECEF شامل X, Y, Z بر حسب متر
    """

    x, y, z = pm.geodetic2ecef(
        lat,
        lon,
        alt
    )

    return x, y, z

   مسئله 2: تبدیل مختصات کارتزین به جغرافیایی (ECEF XYZ → Lat/Lon/Height)
      این تابع عملیات عکس را انجام می  دهد و مختصات ECEF را به مختصات جغرافیایی تبدیل می  کند.

import pymap3d as pm


def ecef_to_geodetic(x, y, z):
    """
    Convert ECEF coordinates to geodetic coordinates.

    Parameters
    ----------
    x : float
        مؤلفه X مختصات ECEF بر حسب متر

    y : float
        مؤلفه Y مختصات ECEF بر حسب متر

    z : float
        مؤلفه Z مختصات ECEF بر حسب متر

    Returns
    -------
    tuple
        مختصات ژئودتیک شامل:
        latitude (deg), longitude (deg), altitude (m)
    """

    lat, lon, alt = pm.ecef2geodetic(
        x,
        y,
        z
    )

    return lat, lon, alt

کتابخانه PyGeodesy در پایتون

یکی دیگر از کتابخانه های قدرتمند و محبوب پایتون برای استفاده در روند این تبدیل، PyGeodesy است. این کتابخانه یک پیاده سازی خالص از ابزارهای ژئودزی پایتون است که روش های مختلفی را برای محاسبات روی بیضوی و کره زمین ارائه می دهد. PyGeodesy روش های دقیقی مانند فرمول های Vincenty و Karney را برای محاسبات ژئودزی پیاده سازی کرده است که بسیار دقیق تر از روش های ساده تر هستند . یکی از نقاط قوت این کتابخانه این است که شامل ماژول های مختلفی برای مدل های بیضوی (مانند ellipsoidalVincenty، ellipsoidalKarney و ellipsoidalNvector) است .
در ادامه، کد تبدیل مختصات با استفاده از PyGeodesy را مرحله به مرحله توضیح می دهیم.

   مسئله 1: نصب کتابخانه
      برای استفاده از این کتابخانه، ابتدا با استفاده از دستور زیر، این کتابخانه را به کد خود، اضافه کنید:

pip install pygeodesy

from pygeodesy.ellipsoidalKarney import LatLon


def geodetic_to_ecef(lat, lon, height=0):
    """
    Convert geodetic coordinates to ECEF coordinates.

    Parameters
    ----------
    lat : float
        عرض جغرافیایی بر حسب درجه

    lon : float
        طول جغرافیایی بر حسب درجه

    height : float
        ارتفاع از سطح بیضوی بر حسب متر
        مقدار پیش‌فرض برابر صفر است.

    Returns
    -------
    tuple
        مختصات ECEF شامل X, Y, Z بر حسب متر
    """

    # ایجاد نقطه ژئودتیک
    point = LatLon(
        lat,
        lon,
        height=height
    )

    # تبدیل به مختصات کارتزین ECEF
    cart = point.toCartesian()

    return cart.x, cart.y, cart.z

مسئله 2: تبدیل مختصات کارتزین به جغرافیایی (ECEF XYZ → Lat/Lon/Height)

این تابع عملیات عکس را انجام می  دهد و مختصات ECEF را به مختصات جغرافیایی تبدیل می  کند .

from pygeodesy.ellipsoidalKarney import Cartesian


def ecef_to_geodetic(x, y, z):
    """
    Convert ECEF coordinates to geodetic coordinates.

    Parameters
    ----------
    x : float
        مؤلفه X مختصات ECEF بر حسب متر

    y : float
        مؤلفه Y مختصات ECEF بر حسب متر

    z : float
        مؤلفه Z مختصات ECEF بر حسب متر

    Returns
    -------
    tuple
        مختصات ژئودتیک شامل:
        latitude (deg), longitude (deg), height (m)
    """

    # ایجاد شیء Cartesian
    cart = Cartesian(
        x,
        y,
        z
    )

    # تبدیل به مختصات ژئودتیک
    point = cart.toLatLon()

    return point.lat, point.lon, point.height

پیاده سازی در متلب

متلب نیز توابع قدرتمندی برای تبدیل مختصات در جعبه ابزار نقشه برداری (Mapping Toolbox) خود دارد. از نسخه R2012b به بعد، توابع geodetic2ecef  و ecef2geodetic به این جعبه ابزار اضافه شده اند و از نسخه R2021a امکان تولید کد C/C++ با استفاده از MATLAB Coder نیز فراهم شده است، استفاده از این ابزارها به شرح زیر است:
   مسئله 1: تبدیل مختصات جغرافیایی به کارتزین ECEF

% تعریف بیضوی مرجع WGS84
wgs84 = wgs84Ellipsoid;

% مختصات ژئودتیک
lat = ...;    % عرض جغرافیایی (درجه)
lon = ...;    % طول جغرافیایی (درجه)
alt = ...;    % ارتفاع از سطح بیضوی (متر)

% تبدیل مختصات ژئودتیک به ECEF
[X, Y, Z] = geodetic2ecef(wgs84, lat, lon, alt);

% نمایش نتایج
fprintf('ECEF Coordinates:\n');
fprintf('X = %.3f m\n', X);
fprintf('Y = %.3f m\n', Y);
fprintf('Z = %.3f m\n', Z);

مسئله 2: تبدیل ECEF به مختصات جغرافیایی

% تعریف بیضوی مرجع WGS84
wgs84 = wgs84Ellipsoid;

% مختصات ECEF
X = ...;    % مؤلفه X (متر)
Y = ...;    % مؤلفه Y (متر)
Z = ...;    % مؤلفه Z (متر)

% تبدیل مختصات ECEF به ژئودتیک
[lat, lon, alt] = ecef2geodetic(wgs84, X, Y, Z);

% نمایش نتایج
fprintf('Geodetic Coordinates:\n');
fprintf('Latitude  = %.8f°\n', lat);
fprintf('Longitude = %.8f°\n', lon);
fprintf('Altitude  = %.3f m\n', alt);

البته اگر تمایل دارید که کد مرحله به مرحله (با استفاده از روابط ریاضی و بصورت قدم به قدم ) در زبان برنامه نویسی متلب دسترسی داشته باشید، می توانید به بخش کتابخانه های برنامه نویسی مراجعه کنید. جهت دانلود مستقیم کد متلب تبدیل سیستم مختصات جغرافیایی به کارتزین و برعکس و همچنین دسترسی به Source های اصلی کتابخانه های پایتون معرفی شده در این مقاله، می توانید به بخش کتابخانه های برنامه نویسی مراجعه کنید.
هر دو کد ارائه شده را می توانید به راحتی در پروژه های خود برای کاربرد های متعددی مانند محاسبه فواصل دقیق، یکپارچه  سازی داده های مکانی، توسعه برنامه های تعیین موقعیت، و تحلیل داده های سه بعدی استفاده کنید.
معمولا استفاده از کتابخانه ها به دلیل استفاده از روش های دقیق ژئودزی و تعداد تکرار های بیشتر، باعث کاهش خطاهای محاسباتی و بهینه سازی نتایج می شود به همین دلیل پیشنهاد می شود که حدالمقدور برای پروژه های خود از این روش ها استفاده نمایید.
همچنین توجه کنید که ارتفاع (Height) در تبدیل  ها، ارتفاع از سطح بیضوی (Ellipsoidal Height) در نظر گرفته می  شود که با ارتفاع از سطح دریا (MSL) متفاوت است و علت آن، وجود مدل های ژئوئید است. 

جمع بندی

تبدیل مختصات جغرافیایی به کارتزین یکی از عملیات های اساسی و ضروری در مهندسی عمران، نقشه برداری و GIS است. در این مقاله، با استفاده از کتابخانه های متفاوت و تنها با چند خط کد، این تبدیل ها را پیاده سازی کردیم. این کدها را می توان به راحتی در پروژه های مختلف برای:
   · محاسبه فواصل دقیق
   · یکپارچه سازی داده های مکانی
   · توسعه برنامه های مبتنی بر موقعیت
   · ساخت مدل های سه بعدی
استفاده کرد. همچنین امکان تبدیل به سیستم های مختصات دیگری مانند UTM نیز وجود دارد که کاربردهای گسترده ای در نقشه برداری و مهندسی عمران دارد.
اگر تمایل دارید تا به کتابخانه ها و ابزارهای بیشتری برای استفاده در پروژه های خود دسترسی داشته باشید، فعالیت مورد نظر خود را از طریق شبکه های اجتماعی GeoMapZone به ما اطلاع دهید تا بهترین ابزارها را به شما معرفی کنیم.

منابع

1. Zhu, J. (1993) – "Conversion of Earth-centered, Earth-fixed coordinates to geodetic coordinates", NOAA Technical Report.
2. Olson, D. K. (1996) – "Converting Earth-Centered, Earth-Fixed Coordinates to Geodetic Coordinates", JPL Technical Report.
3. Wikipedia – Geographic coordinate conversion